THE LOVECRAFTIAN NUMBERS: PART 1 - BILANGAN-BILANGAN TERBESAR DI ALAM SEMESTA

SUMBER GAMBAR

Hallo guys, kalo kemarin-kemarin postingan gue tentang alien, String Theory, dan Mekanika Kuantum menyinggung ilmu Fisika, sekarang gue akan membahas Matematika hehehe. Eits, jangan buru-buru muntah darah! Emang sih, bagi banyak dari kita (termasuk gue), Matematika adalah pelajaran yang paling bikin ilfil semasa kita sekolah. Udah gurunya galak, rumusnya banyak, itungannya ruwet, soal ulangannya susah-susah lagi. Pantesan nilai kita dulu banyakan ancur. Momok mengerikan semacam itu mungkin sudah terpatri di benak kita. Tapi jangan salah, kita menganggap Matematika seperti itu karena sejak awal kita nggak diperkenalkan akan “keajaiban” ilmu tersebut. Matematika punya banyak banget lho manfaat buat kita (manfaat paling basic ya ngitung uang jajan) dan seandainya kita dikenalin ke “sisi lain” Matematika ini, mungkin kita akan belajar mencintainya.

Salah satu yang membuat gue berubah pikiran akan momok menakutkan Matematika adalah channel YouTuber bernama “Numberphile”. Di channel tersebut, seorang film-maker bernama Brady mewawancarai profesor-profesor top untuk menjelaskan topik-topik menarik dalam Matematika. Banyak dari penjelasan mereka emang amat “friendly” terutama buat otak gue yang pas-pasan. Salah satu topik yang paling menarik menurut gue adalah ketika mereka membahas angka-angka yang teramat besar dalam Matematika. Bahkan saking besarnya, mereka sudah di luar batas nalar dan pemahaman kita. Emang seberapa gede sih Bang angkanya? 100? 1000? Satu triliun?

Yang jelas, angka-angka yang gue tawarkan ini akan amat besar, hingga alam semesta kita tak mampu menampungnya.

Banyak sih sebutan-sebutan “awam” untuk angka-angka ini, mulai dari angka monster (“monstrous”), "behemoth", hingga "gargantuan". Namun gue pribadi lebih suka menyebut mereka angka-angka “Lovecraftian” (mungkin lain kali akan gue bikin deh postingan tersendiri yang menjelaskan siapa itu Lovecraft dan apa maksud istilah “Lovecraftian horror”) karena mereka sendiri lebih besar ketimbang ukuran alam semesta ini.

Bikin penasaran kan? Tapi gue peringatkan, penjelasan dari beberapa angka ini selain “mind-blowing” juga akan membuat kalian sedikit pusing karena penjelasannya yang ruwet. 

So here we go!

PENDAHULUAN: JANGAN REMEHKAN PANGKAT!

Oke, sebelum gue mulai, gue ingin membuat batasan dulu tentang angka-angka yang akan kita bahas. Pertama, angka-angka ini bukanlah “infinity” atau “tak terbatas” (disimbolkan ∞ ). Angka tersebut terbatas, artinya memiliki nilai maksimal, walaupun jumlahnya teramat besar. Kedua, angka-angka ini nggak boleh random, melainkan memiliki arti secara matematis. Lah, apa maksudnya itu?

Bayangkan aja jika gue sebut angka “60”, apa yang terbayang? Mungkin kalian akan menjawab, kan 60 itu jumlah detik dalam satu menit dan jumlah menit dalam satu jam. Kalo gue menyebut angka “360”? Itu jumlah derajat dalam lingkaran. Kalo “3,14”? Itu angka “pi (π)” yang biasa digunakan untuk mengukur keliling dan luas lingkaran. Sekarang kalo “299.792.458”? Buat kalian yang jago fisika, pasti langsung mengenali kalo itu adalah kecepatan cahaya (c) dalam meter per detik. Jadi semua angka itu punya makna dalam matematika, bukan sekedar angka acak.

Nah, setelah kalian memahami aturan ini, gue akan memperkenalkan dulu kekuatan dari sebuah simbol “pangkat” (˄)

Anekdot “Beras dan Kotak Catur”

SUMBER GAMBAR

Katakanlah lu ketemu seorang jin sakti dan ia membuat penawaran. Dia memiliki sebuah papan catur dan di kotak pertama papan catur itu, ia menaruh 1 butir beras. Kemudian di kotak kedua di sebelahnya, ia menaruh dua kali lipat jumlah beras di kotak pertama, yakni 2 butir beras. Di kotak ketiga, ia menaruh dua lipat jumlah beras di kotak kedua, yakni 4 butir beras. Di kotak keempat, ia menaruh dua lipat jumlah beras di kotak ketiga, yakni 8 butir beras, dan seterusnya. Apakah kamu mau uang senilai dengan jumlah butir beras di kotak terakhir di papan catur itu ataukah mau langsung terima duit kontan 1 miliar rupiah?

Lu mulai mikir-mikir. Lu tahu bahwa ada 64 kotak di papan catur itu. “Alah, paling berapa sih jumlah beras di kotak nomor 64, palingan 128. Iya kan?” Akhirnya lu memilih uang 1 milyar aja. Tapi lu rugi banget men. Karena jumlah yang akan lu dapatkan di kotak terakhir adalah 9.223.372.036.854.775.808 atau sekitar 9 ribu trilyun. Hah kok bisa gede banget? Karena angka-angka tersebut dihitung dengan menggunakan pangkat.

Bayangkan di kotak pertama ada 1 butir beras, itu adalah 2^˄0 atau 2⁰, yakni 1. 

Di kotak kedua ada 2¹, yaitu 2. 

Di kotak ketiga, ada 2², yaitu 4. 

Di kotak keempat ada 2³, yakni 8. 

Jadi kalian bisa menyimpulkan rumus untuk menghitung jumlah butir beras di tiap kotak adalah 2^n-1, dimana n = urutan kotak. 

Maka jika kita menghitung jumlah beras di kotak ke-64, hasilnya adalah 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808 atau bisa ditulis 9×10¹⁸. Anekdot ini berasal dari India dan konon, butiran beras sebanyak itu bisa menutupi seluruh wilayah India dengan butiran beras dengan kedalaman 1 meter!

Jadi, jangan sama sekali meremehkan sebuah pangkat!

Bisakah Kita Melipat Kertas HVS Lebih Dari 7?

SUMBER GAMBAR

Nah, ini juga salah satu trik Matematika yang menarik. Coba kalian ambil satu lembar kertas HVS dan coba lipat menjadi dua. Kemudian hasil lipatan itu kalian lipat kembali menjadi dua dan terus ulangi lagi langkah itu. Berapa jumlah lipatan maksimal yang bisa kalian peroleh? Kebanyakan orang takkan mampu melipat kertas lebih dari 7 kali. Lho kok bisa? Karena kalian nggak akan kuat, sebab kertas itu menjadi tebal sekali. Bahkan ada sebuah video YouTube yang mencobanya dengan tekanan hidrolik, namun hasilnya kertasnya malah lebih memilih hancur ketimbang ditekuk lebih dari 7 kali. Bahkan jika kalian memiliki kertas dengan luas sebuah hangar pesawat semisal, kalian hanya bisa menekuknya maksimal 11 kali.

Mengapa bisa begitu? Kita harus paham perhitungannya bahwa dengan menekuk sebuah kertas, maka ketebalan kertas tersebut akan berlipat ganda.

1 lipatan → ketebalan menjadi 2¹ atau 2x 

2 lipatan → ketebalan menjadi 2² atau 4x 

3 lipatan → ketebalan menjadi 2³ atau 8x 

4 lipatan → ketebalan menjadi 2⁴ atau 16x 

5 lipatan → ketebalan menjadi 2⁵ atau 32x 

6 lipatan → ketebalan menjadi 2⁶ atau 64x 

7 lipatan → ketebalan menjadi 2⁷ atau 128x

Jika kita lipat 30 kali, ketebalan kertas itu akan mencapai 1.073.741.824 kali lipat. Jika ketebalan selembar kertas HVS hanya 0,1 mm, maka ketebalan kertas yang dilipat 30 kali akan mencapai 100 kilometer. Dilipat 42 kali, kertas kita tebalnya akan mencapai Bulan. Dilipat 81 kali, ketebalannya akan menjadi setara dengan Galaksi Andromeda. Dilipat 103 kali, maka ketebalannya akan melampaui alam semesta ini.

Sudah gue bilang kan, jangan remehkan pangkat.

CATATAN:

Gue memakai kata “alam semesta” di sini merujuk pada alam semesta yang dapat diamati (observable universe), yakni alam semesta yang bisa diamati dengan teknologi tercanggih kita, sehingga memiliki batas. Diameter “observable universe” adalah sekitar 93 miliar tahun cahaya atau 8,8x10²⁶ meter. Di luar “observable universe” ini pemahaman manusia tak mampu mencapainya, apakah memang ada batas atau masih ada “sesuatu” di luarnya sehingga menjadi tak terbatas. Namun di pembahasan angka-angka Lovecraftian gue menggunakan definisi alam semesta sebagai “observable universe” yakni batas maksimum yang bisa diamati manusia.

Now let's start the Countdown!

BILANGAN EDDINGTON

SUMBER GAMBAR

Berapa sih angka terbesar yang bisa kalian bayangkan? Kalo ngomongin masalah duit, mungkin uang 1 juta rupiah (10⁶) sudah termasuk besar buat kalian. Tapi jika dengan uang segitu kalian bisa dapat 2 sepatu Nike, mungkin kalian menganggapnya sudah sangat murah.

Lalu berapa? 1 milyar (10⁹)? Bisakah kalian membayangkan berapa banyaknya 1 miliar itu? Sebagai bayangan, usia jagad raya kita saat ini adalah 13 miliar tahun atau 13×10⁹ tahun.

Bagaimana dengan satu triliun atau 10¹²? Adakah yang lebih besar dari 1 triliun? Sebagai bayangan lagi, 4×10¹⁷ adalah usia jagad raya dalam detik semenjak Penciptaan (Big Bang) hingga detik kalian membaca postingan ini. Adakah angka yang lebih besar lagi?

Jumlah bintang mungkin? Berapa jumlah bintang yang ada di seluruh alam semesta ini? Para ilmuwan memperkirakan ada sekitar 5×10²² bintang di jagad raya ini. Apa yang lebih banyak dari itu? Bagaimana dengan jumlah partikel, penyusun terkecil di jagad raya? Nggak ada yang lebih kecil lagi daripada partikel, bahkan pasir atau debu sekalipun, jadi jumlahnya pasti luar biasa banyak kan?

10⁸⁰ adalah perkiraan jumlah partikel yang ada di seluruh alam semesta ini. Angka itu disebut “Bilangan Eddington” dan disebut-sebut sebagai angka terbesar yang memiliki arti di alam semesta kita ini.

Namun ternyata ada yang jauh lebih besar dari itu.

GOOGOL

SUMBER GAMBAR

Fun facts: ketika diluncurkan pada 1998, Larry Page dan Sergey Brin ingin menamai situs pencari mereka dengan nama yang “ngejreng”, yakni bilangan terbesar untuk menunjukkan kemampuan mumpuni search engine mereka. Sayangnya, mereka salah mengeja “Googol” sehingga terciptalah nama “Google”.

Apa itu Googol? Googol adalah bilangan yang disimbolkan dengan 10¹⁰⁰ atau angka 10 diikuti oleh seratus angka 0 di belakangnya. Maka 1 googol bisa ditulis:

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Seberapa besarkah Googol? Yang jelas, tak ada apapun di alam semesta ini yang jumlahnya melebihi 1 googol. Sebagai bayangan, jumlah partikel di alam semesta ini sejumlah 10⁸⁰, jauh lebih kecil dari 1 googol. Untuk bisa membayangkan seberapa besar 1 googol itu, kita nggak bisa menggunakan alam semesta ini. Kita harus menciptakan “alam semesta” baru yang bisa kita manipulasi untuk menunjukkan betapa agungnya 1 googol tersebut.

Oke, pernah kan ke pantai, semisal yang ada di Bali? Pasti kalian suka banget jalan-jalan di atas pasir pantai sambil kaki kalian diterjang ombak. Jadi kalian pasti bisa membayangkan betapa kecilnya sebutir pasir itu. Nah sekarang bayangkan kita “menciptakan” alam semesta baru (seukuran dengan alam semesta kita) dimana seluruh alam semesta itu dipenuhi dengan butiran pasir. Berapa jumlah butiran pasir yang perlu ada untuk bisa memenuhi alam semesta itu?

Jika kita memenuhi alam semesta dengan butiran pasir, jumlahnya takkan melebihi 1 googol

SUMBER GAMBAR

Ternyata hasilnya tak mencapai 1 googol, yakni “hanya” 10⁹⁵ butir pasir. Mungkin kalian berpikir, alah bang, cuma kurang 5 aja kok. Tapi jangan salah, itu adalah bilangan pangkat lho. Untuk bisa mencapai 1 googol, maka kalian perlu mengisi 10.000 (lihat, nol-nya ada 5) alam semesta dengan pasir. Maka jumlah butiran pasir yang memenuhi 10 ribu alam semesta = 1 googol.

Mengerikan?

Lalu adakah angka yang lebih besar dari Googol? Kita lihat lagi Bilangan Eddington, yakni jumlah partikel di alam semesta ini yang mencapai 10⁸⁰. Menurut Hukum Alam, partikel-partikel tersebut tidaklah berdempetan, melainkan ada jarak di antara mereka. Bukan karena mereka kudu “social distancing” atau lagi PSBB, tapi dilogika saja, jika semua partikel dempetan, nggak akan ada air ataupun udara kan? Semuanya jadi padat. Bahkan di atom benda padatpun kita tahu bahwa elektron mengorbit inti atom dalam jarak tertentu.

Nah sekarang bayangin jika semua partikel di alam semesta kita ini dempet-dempetan kayak penumpang gerbong KRL pas jam pulang kantor. Jika semua partikel tersebut memenuhi seluruh alam semesta tanpa ada jarak sedikitpun di antara mereka, maka jumlah partikel yang akan bisa memenuhi jagad raya tersebut akan naik, yakni 10¹²⁸, jauh lebih besar ketimbang 1 googol. Namun tentu saja, itu adalah angka “khayalan” yang tak memiliki arti di alam semesta kita ini.

GOOGOLPLEX

Jika angka 10 dipangkatkan googol, apa yang terjadi? Hasilnya adalah sebuah angka yang disebut “Googolplex” atau 10^googol. Mungkin kalian bertanya, Bang berapa tuh jumlah digit angka nol-nya? Ya 1 googol. Berapa banyak itu?

Sekarang misalkan kalian mengambil sebuah buku tulis kosong dan menulis angka 1 diikuti angka nol dari halaman pertama sampai halaman terakhir buku itu. Jika kalian menulis angka 0 di sebuah buku setebal 400 halaman (standard novel), maka kalian hanya bisa menuliskan angka nol sebanyak 10⁶ atau 1 juta digit. Lho kok dikit Bang? Kan angka 1 juta tuh cuman 1.000.000, masa iya ampe butuh 400 halaman?

Eits ... ingat ya, itu “digit”! Angka 1 juta atau 1.000.000 hanya memiliki 7 digit (1 digit angka “1” dan 6 digit angka “0”). Jadi bayangkan satu novel isinya angka nol mulu, maka di satu buku kita baru bisa menulis 1 juta digit angka 0.

Lalu berapa buku yang dibutuhkan untuk menulis seluruh angka 0 di 1 googolplex? Diperlukan sekitar 10⁹⁴ buku. Mungkin kalian mikir, ah kecil bang! Mana, bokap gue punya penerbitan. Eits, jangan meremehkan angka itu! Bayangkan jika 1 buku beratnya 100 gram, maka berat seluruh buku yang diperlukan untuk menulis angka nol di 1 googolplex adalah sekitar 10⁹³ kilogram. Seberapa berat itu? Well, sebagai bayangan, massa Bumi kita adalah sekitar 6×10²⁴ kg, massa seluruh galaksi Bima Sakti kita sekitar 2,5×10⁴² kg, dan massa seluruh jagad raya diperkirakan 1,5×10⁵³ kg.

Seluruh buku di alam semesta ini takkan cukup untuk menuliskan angka 0 di 1 googolplex

SUMBER GAMBAR

Dengan kata lain, tak cukup ruang di alam semesta kita ini untuk sekedar menuliskan angka 0 yang terkandung dalam 1 googolplex.

Bagaimana jika kita tetap “ngeyel” dan ingin menuliskan angka 0 di 1 googolplex itu sampai kita mati? Well, jika kita bisa menulis dua angka “0” dalam 1 detik, maka diperlukan waktu sebanyak 1,5×10⁹² tahun bagi kita untuk menulis seluruh angka 0 di 1 googolplex. Ingat, di awal gue sudah memberi tahu kalian jika umur jagad raya ini sejak Big Bang adalah “baru” 13,8×10⁹ tahun. Ilmuwan bahkan meramalkan bahwa usia jagad raya kita maksimal akan mencapai 1,1×10⁸² tahun sebelum akhirnya mengalami “kiamat” atau musnah. Jadi, jika kita menulis angka 0 dari permulaan jagad raya ini hingga saat jagad raya ini musnah, kita takkan pernah bisa selesai menulis seluruh angka 0 yang terkandung dalam 1 googolplex.

Mengerikan? Tenang, di episode berikutnya masih ada yang jauh lebih mengerikan lagi.

SUMBER: Large Numbers, Googol, Googolplex, Wheat and Chessboard Problem