THE LOVECRAFTIAN NUMBERS" PART 2 - BILANGAN-BILANGAN YANG LEBIH BESAR DARI ALAM SEMESTA!

SUMBER GAMBAR

Oke, di postingan sebelumnya (jika kalian masih betah melanjutkannya), kita membahas Googol dan Googolplex, dua angka yang amat mengerikan hingga alam semesta saja tak mampu menampungnya. Bagaimana dengan angka-angka lainnya yang lebih besar? Well, beruntung kita tak kehabisan matematikawan “gila” yang selalu berusaha mencari angka terbesar yang bisa dirumuskan (memiliki arti dan bukan sekedar angka “random” seperti yang gue jelaskan di Pendahuluan). Angka-angka itu meliputi Mersenne Prime, Skewes Number, dan Graham Number.

MERSENNE PRIME

Marin Mersenne, "penemu" Mersenne Prime

SUMBER GAMBAR

Bilangan prima senantiasa mempesona para matematikawan karena “ke-sexy-annya”. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh 1 dan angka itu sendiri. Yang dimaksud bilangan prima semisal 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 dst. Pada abad ke-17, seorang biarawan sekaligus pecinta matematika fanatik dari Eropa bernama Marin Mersenne merumuskan bilangan prima yang sifatnya jauh lebih spesial ketimbang sekedar nggak bisa dibagi, yakni “Mersenne Prime”. Mersenne Prime dirumuskan berikut ini:

"P" adalah bilangan prima. Dengan kata lain, Mersenne Prime adalah bilangan prima yang apabila dipangkatkan dan dikurangi satu, hasilnya berupa bilangan prima pula.

Konsep Mersenne Prime ini sudah dikenal oleh para filsuf Yunani, hanya saja Mersenne lebih cantik merangkumnya dalam sebuah buku. Empat angka Mersenne Prime pertama sudah diketahui semenjak 500 SM, yakni:

Bilangan Mersenne Prime pertama → 2 → M₂ = 2² – 1 = 3

Bilangan Mersenne Prime kedua → 3 → M₃ = 2³ – 1 = 7

Bilangan Mersenne Prime ketiga → 5 → M₅ = 2⁵ – 1 = 31

Bilangan Mersenne Prime keempat → 7 → M₇ = 2⁷ – 1 = 127

Bayangkan begitu ribetnya angka Mersenne Prime ini hingga perlu waktu hingga hampir 2000 tahun kemudian, yakni pada 1461, barulah seseorang bisa menghitung bilangan Mersenne Prime kelima.

Bilangan Mersenne Prime kelima → 13 → M₁₃ = 2¹³ – 1 = 8191

Mungkin ada kalian yang jeli dan melihat, lho Bang kok angka 11 dilewatin? Kan bilangan prima sehabis 7 kan 11, bukan 13. Ini karena apabila mengikuti rumus Mersenne Prime, angka 11 akan menghasilkan bilangan 2047 yang bukan bilangan prima (bisa dibagi 23 dan 89). Jadi bisa kalian bayangkan, mencari bilangan Mersenne Prime ini cukup sulit karena tak semua bilangan prima bisa digunakan, apalagi menghitungnya secara manual di zaman dimana kalkulator belum ditemukan.

Asal dia nggak lulus Test Turing aja, kita aman

SUMBER GAMBAR

Bilangan Mersenne Prime terakhir yang bisa dihitung dengan otak manusia biasa adalah bilangan Mersenne Prime ke-12, yakni M₁₂₇ yang hasilnya memiliki 39 digit. Bilangan itu ditemukan oleh Eduoard Lucas pada tahun 1876. Hampir seabad kemudian, Alan Turing berhasil menemukan bilangan Mersenne Prime ke-13, yakni M₅₂₁, itupun dengan bantuan komputer karena otak manusia sudah tak mampu mencapainya. Hal tersebut cukup mudah diamini, sebab tak hanya kita harus memangkatkan dengan angka yang sedemikian besar, hasilnya pun harus kita bagi dengan semua kemungkinan angka yang ada untuk memastikan apakah angka itu benar bilangan prima atau bukan.

Lalu kapan Bang bilangan Mersenne Prime tertinggi ditemukan? Ehm ... baru tahun kemarin? What??? Baru pada tahun 2018, dengan bantuan komputer, kita berhasil menemukan angka Mersenne Prime ke-51 yang merupakan yang tertinggi yang berhasil dicapai teknologi manusia. Mau tahu berapa angkanya? Bilangan Mersenne Prime ke-51 adalah:

Itu baru nilai pangkatnya saja. Nilai angkanya sendiri mencapai hampir 25 juta digit (nggak mungkin gue tulis di sini, blog ini nggak akan muat) dan disebut sebagai bilangan prima terbesar yang pernah ditemukan.

Kepengen ngitung nilai Mersenne Prime ke-52? Gue persilahkan lho, bisa dapat hadiah duit katanya.

SKEWES NUMBER

Stanley Skewes, penemu Bilangan Skewes

SUMBER GAMBAR

Mau yang lebih gila lagi ketimbang Mersenne Prime? Kita tiba di angka yang disebut “Skewes Number”. Kali ini kita dihadapkan dengan sebuah rumus π(x) yaitu jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan x. Gampangannya seperti ini:

π(2) = 2 → 1

π(3) = 2, 3 → 2

π(5) = 2, 3, 5 → 3

π(10) = 2, 3, 5, 7 → 4

π(20) = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 → 8

Gampang kan? Nah, sekarang bagaimana jika x adalah angka besar seperti 100, 1000, bahkan 1 juta? Ribet kan menghitungnya. Jika kita tetep kekeuh menghitungnya dengan tangan, maka nilai-nilainya adalah:

π(100) = 25

π(1000) = 168

π(1000000000) = 74.498

Nah, ternyata ada rumus “mudah” untuk menghitung nilai π(x) tanpa menghitung satu-satu bilangan primanya sampai mulut kita berbusa-busa, yakni dengan rumus berikut ini

π(x) ≈ x/ln(x)

Menggunakan rumus di atas, maka kita bisa membandingkan hasil dari x = 100, x = 1.000, dan x = 1.000

Kita bisa melihat bahwa nilai dari rumus x/ln(x) tak terlalu akurat. Bahkan pada nilai x = 10.000, ada selisih hampir 200 yang sebenarnya cukup besar. Maka para matematikawan mencari rumus baru dan mereka menemukan rumus ini.

π(x) ≈ li (x)

Dan apabila dibandingkan hasilnya dengan nilai asli π(x) dan x/ln(x):

Dengan rumus tersebut, maka dihasilkan nilai π(x) yang lebih akurat. Walaupun tetap ada selisih, namun tidaklah terlalu siginifikan. Nilai π(10.000) saja yang selisihnya hampir 200 bisa ditekan hingga hampir 20 saja.

Tapi dari tabel di atas kalian bisa melihat bahwa nilai li(x) selalu lebih tinggi ketimbang nilai asli π(x). Para matematikawan bertanya-tanya, kapan nilai li(x) lebih rendah ketimbang π(x)? Di sinilah bilangan yang disebut “Skewes Number” berperan. Pada 1933, seorang matematikawan asal Afrika Selatan bernama Stanley Skewes berhasil menemukan jawabannya. Nilai π(x) akan lebih tinggi daripada li(x) apabila nilai x mencapai:

Bilangan itu disebut Bilangan Skewes dan nilainya jauh lebih besar dari Googolplex. Agar kita punya ruang untuk menuliskan Bilangan Skewes ini, kita memerlukan 10³¹ googol alam semesta.

Mengerikan? Dua orang fisikawan asal Stanford University bernama Andrei Linde dan Vitaly Vanchurin merumuskan bahwa jumlah alam semesta di Multiverse kita mencapai:

Dan angka itu jauh lebih kecil ketimbang Bilangan Skewes. Dengan kata lain, Bilangan Skewes jauh lebih besar ketimbang Multiverse kita.

GOOGOLPLEXIAN

Adakah yang lebih besar dari Skewes Number? Selamat datang di konsep Googolplexian dimana 1 googolplexian setara dengan 10^googolplex atau sekitar:

Udah, jika Googolplex lebih gede dari alam semesta ini dan Bilangan Skewes lebih besar daripada keseluruhan universe di Multiverse, gue nggak mau bayangin segede apa itu Googolplexian.

Tapi ada yang lebih besar lagi lho.

GRAHAM NUMBER

Ronald Graham penemu Bilangan Graham

SUMBER GAMBAR

Sudah gue sebutkan di Pendahuluan bahwa bilangan pangkat sama sekali nggak boleh kita remehkan. Bahkan bilangan pangkat yang sepertinya kecil semisal:

Sudah tak bisa dihitung dengan otak manusia. Bahkan mungkin jika kita menggunakan kalkulator, mungkin akan langsung error, berasap, bahkan meledak saking susahnya.

Namun para matematikawan dalam kesehariannya tentu menghadapi angka-angka pangkat yang amat besar ini untuk berbagai keperluan teoritis. Sehingga agar tidak memakan tempat, maka mereka menciptakan sebuah simbol baru untuk menggantikan sistem pangkat yang terlalu banyak. Simbol itu dinamakan “Knuth's Up Arrow” dan dilambangkan dengan tanda panah ke atas (↑).

Sekarang kita misalkan ya angka 3↑4, apa artinya?

3↑4 = 3×(3×(3×3)) = 3^˄4 = 3⁴

Enteng? Sekarang kita coba 3↑↑4 alias dengan dua panah.

3↑↑4 = 3↑(3↑(3↑3)) = 3^˄3^˄3^˄3

Atau bisa ditulis:

Berapa Bang hasilnya? Kita hitung dulu saja berapa bilangan pangkatnya:

Buseeeeet! Jadi tanda ↑ secara siginifikan meningkatkan hasilnya hingga berjuta-juta kali lipat. Jika hasil dari angka di atas kita misalkan X, maka nilai X ini akan memiliki triliunan digit!

Bagaimana jika kita sekarang membuat 3↑↑↑4. Seberapa besar angka ini?

3↑↑↑4 = 3↑↑(3↑↑(3↑↑3))

Kita nggak akan bisa menghitung nilainya, bahkan dengan komputer supercanggih sekalipun, sebab kita sendiri bahkan tidak bisa menuliskan angka pangkatnya di Bumi. Lho kok bisa? Andaikan saja kita tetep ngeyel mau menuliskan pangkatnya, sekarang coba begini. Kita tahu bahwa 3↑↑4 bisa ditulis demikian:

Maka 3↑↑↑4 bisa kita tuliskan:

Kenapa ada gambar Matahari di sana? Karena jika kita menuliskan satu angka pangkat 3 dengan ukuran 2 mm saja, maka jarak yang dibutuhkan hingga ke puncak pangkat 3 tersebut adalah 150 juta kilometer atau setara jarak Bumi ke Matahari! Jadi jika saat ini kita mengambil kertas dan menuliskan angka pangkatnya secara terus-menerus, maka tingginya akan menembus atmosfer Bumi, melampaui Venus dan Merkurius, dan akhirnya sampai ke permukaan Matahari. Wow!

Tapi jangan megap-megap dulu, karena 3↑↑↑4 bukanlah Bilangan Graham. Masih jauh! Bilangan Graham sendiri pertama kali dicetuskan matematikawan bernama Ronald Graham pada 1977 untuk memecahkan Ramsey Theory dari sebuah hypercube. Kalian nggak perlu tahu apa artinya, terlalu memusingkan (walaupun jika kalian tertarik, kalian bisa ngecek website ini yang menjelaskan Bilangan Graham dengan sistematis).

Yang penting, angka terbawah Bilangan Graham sendiri jauh lebih besar daripada “sekedar” angka 3↑↑↑4 saja, melainkan 3↑↑↑↑4 (yap dengan empat panah). Dan itu baru baris terbawah.

Pada Bilangan Graham, 3↑↑↑↑4 adalah baris terbawah, dimana di atasnya ditulis baris bilangan lagi (3↑↑↑....4) dimana jumlah tanda panah ↑ berjumlah sama dengan hasil bilangan yang ada di bawahnya. Tahu ya maksudnya “hasil”, contohnya 3↑4 = 34 = 81, maka 81 adalah hasil dari 3↑4.

Maka jika hasil dari 3↑↑↑↑4 (baris pertama) adalah X, maka baris di atasnya (baris kedua) memiliki tanda panah ↑ sejumlah X. Kemudian jumlah panah di baris ketiga haruslah sama dengan hasil bilangan yang didapat dari baris kedua

Lalu kerjakan terus hingga 64 baris. Itulah Bilangan Graham.

Jika kalian masih sulit memvisualisasikan sebesar apa Bilangan Graham (atau puyeng dengan penjelasan di atas) dan sukar menerima mengapa Bilangan Graham jauh lebih besar ketimbang Googolplex (yang jauh lebih besar ketimbang jagad raya kita) dan Googolplexian (yang jauh lebih gede ketimbang Multiverse), gue akan jelaskan seperti ini.

Masih ingat kan bilangan-bilangan terdahulu di list ini, ada Bilangan Eddington, Googol, Googolplex, Mersenne Prime, Bilangan Skewes, dan Googolplexian? Walaupun nilai-nilai angka tersebut luar biasa besarnya, namun paling tidak kita masih bisa menuliskan notasinya. Semisal 1 googol masih bisa ditulis dengan notasi 10¹⁰⁰ dan sebagainya.

Namun bagi Bilangan Graham, untuk menuliskan notasinya saja kita takkan sanggup sebab alam semesta ini takkan cukup untuk menampung semua angka pangkat 3 di bilangan tersebut (bahkan menulis angka panahnya saja kita takkan sanggup). Bila notasinya saja kita tak sanggup menuliskan, bayangkan menuliskan hasilnya! Bahkan ada sumber yang menyebutkan (nggak tahu valid atau tidak), untuk menuliskan hasil baris pertama Bilangan Graham aja (G₁) yakni 3↑↑↑↑4 saja, seantero alam semesta kita takkan cukup, apalagi menulis hingga G₆₄!

Maka dari itu, tak heran Bilangan Graham masuk ke dalam Guiness Book of The Records pada tahun 1980 sebagai angka terbesar yang pernah ada. Uniknya, walaupun kita takkan pernah bisa menuliskan hasil Bilangan Graham ini, matematikawan bisa menebak hingga 12 digit terakhir Bilangan Graham, yakni ........262.464.195.387. Luar biasa kan?

ADAKAH YANG LEBIH BESAR KETIMBANG BILANGAN GRAHAM?

Ini adalah permainan yang sangat berbahaya!

Muncul pertanyaan menggelitik jika kalian memang memiliki rasa ingin tahu tinggi, adakah bilangan yang lebih besar ketimbang Bilangan Graham? Jawabannya, pasti ada! Salah satunya adalah bilangan yang disebut sebagai TREE(3). Sebuah sumber menyebutkan, jika kita membayangkan Bilangan Graham sebagai sebuah bola golf, maka nilai angka TREE(3) sebesar seluruh alam semesta ini. Jika kalian penasaran apa itu TREE(3) kalian bisa menyaksikan sendiri VIDEO INI (lagi-lagi Numberphile) yang merangkum pengertian TREE(3) dengan sebegitu cantiknya.

Namun gue sendiri nggak begitu afdol memasukkan TREE(3) di list ini karena angkanya begitu abstrak. Bahkan secara teoritis, angka ini takkan pernah bisa dihitung karena kita memerlukan ruangan seluas alam semesta ini hanya untuk menuliskan rumus persamaannya saja (padahal at least kita tahu rumus cara menemukan Bilangan Graham). Sehingga bilangan ini bisa dibilang begitu absurd dan tak diketahui cara mencari nilainya, sehingga gue skip dari list ini.

Oke, gimana pendapat kalian tentang angka-angka Lovecraftian di atas? Namun semengerikan apapun angka-angka itu, kita perlu memuji tentunya otak-otak encer para matematikawan serta rasa ingin tahu mereka yang tinggi. Itulah fungsi sains, untuk menembus semua batas ... to infinity and beyond!

SUMBER: Wikipedia (Mersenne Prime), Pointless Large Number (Skewes Number), Pointless Large Number (Graham Number), Wait But Why (Graham Number)